Moviment harmònic simple

Equacions del MHS

Moviment Harmònic Simple: (Totes les eq. són derivades de l’anterior) $x(t)=A\cdot sin(\omega \cdot t+\varphi )$

$v(t)=\frac{dx(t)}{dt}=A\cdot \omega \cdot cos(\omega \cdot t+\varphi )$

$a(t)=\frac{dv(t)}{dt}=-A\cdot {\omega }^2\cdot sin(\omega \cdot t+\varphi )=-{\omega }^2\cdot x(t)$

Tot moviment harmònic simple està definit per tres incògnites: $A$ = Acceleració $\omega$ = Vel. Angular $\varphi$ = Angle inicial

Dinàmica del MHS:

En aquest moviment:

$$a=-{\omega }^2\cdot x$$

La força responsable d’aquesta acceleració en un cos de massa $m$ verificarà:

$$=m\cdot a=-m\cdot {\omega }^2\cdot x$$

I tenint en compte que $m$ i $\omega$ són constants podem escriure:

$$F=-k\cdot x$$

i definim $k$ com:

$$k=m\cdot {\omega }^2$$

Aquesta expressió correspon a la llei de Hooke per la força elàstica, Així doncs podem afirmat que una força elàstica provoca un MHS.

Energia del MHS

Un objecte lligat a una molla (o objecte elàstic) té energia cinètica i potencial:

$$E_m=E_c+E_p=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2+\frac{1}{2}\cdot k\cdot x^2$$

En els punts d’elongació màxima, la velocitat és nul·la i tota l’$E$ és potencial. $|x|=A$ $E_m=\frac{1}{2}\cdot k\cdot A^2$ En qualsevol altre punt de la trajectòria: (Aquesta eq es podria fer tant gran o petita com sigui necessari pel problema present)

$E_m=E_c+E_p=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2+\frac{1}{2}\cdot k\cdot x^2$

o bé:

$E_m=\frac{1}{2}\cdot m\cdot A^2\cdot {\omega }^2=\frac{1}{2}\cdot k\cdot A^2$

I per tant:

$\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2+\frac{1}{2}\cdot k\cdot x^2=\frac{1}{2}\cdot k\cdot A^2$

Aquest gràfic exemplifica el caràcter de l’$E_m$ , $E_c$ i $E_p$ en el moviment harmònic

Pèndol simple:

És un objecte que descriu oscil·lacions de manera harmonica quan $\alpha$ petita i un fil molt llarg. No és un equivalent directe i falla tan bon punt creix massa l’angle o el cable és massa curt. El que fem no és més que una aproximació.

$$T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$$

Aquí podem veure que el moviment del pèndol simple depen únicament de la longitud del pèndol en qüestió i l’acceleració de la gravetat.

Formulari:

Bàsiques:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}k=m\cdot {\omega }^{2}a=-{\omega }^2\cdot x$$

Energia:

$$(punt{d}^{\prime }xmaxima)E_m=\frac{1}{2}\cdot k\cdot A^2$$