Interferències

Principi de superposició:

Ones coherents:

Nosaltres només estudiarem interferències entre dues ones coherents, és a dir, amb la mateixa amplitud. Estudiarem com es troben en un punt i quina és la seva diferencia en ell.

$$y_{(x,t)}=A\cdot sin(\omega \cdot t-k\cdot x+{\alpha }_0)$$

I en un punt, sabent que les ones es sumen, tindrem que:

$$y=y_1(r_1,t)+y_2(r_2,t)=A_0[sin(\omega \cdot t-k\cdot r_1)+sin(\omega \cdot t-k\cdot r_2)]$$

A través d’identitats trigonomètriques diem el següent:

$$sin(\alpha )+sin(\beta )=2cos\left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\cdot sin\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)$$

I per tant diem:

$$2A_0\cdot cos\left(\frac{k(r_2-r_1)}{2}\right)\cdot sin\left(\omega \cdot t\cdot \frac{k(r_1+r_2)}{2}\right)$$

És curios observar que només depen del temps la segona part de l’equació, donant una equació de moviment ondulatori i això és perquè la amplitud del punt sera realment tot el primer bloc, el valor màxim d’$A$ per tant sera $2A_0$.

Les interferències poden ser constructives o destructives i és classifiquen segons el valor d’$A$ Si $A_{m\grave{a}x}=2A_0$ és constructiva i vol dir que:

$$cos\left(\frac{\pi (r_2-r_1)}{\lambda }\right)=\pm 1$$

És a dir que si amplitud és

$$2A_0\cdot cos\left(\frac{\pi (r_2-r_1)}{\lambda }\right)=\pm 1$$

Aquesta sera màxima i la interferència en aquest pun constructiva. Per contrapartida si:

$$cos\left(\frac{\pi (r_2-r_1)}{\lambda }\right)=0$$

L’amplitud serà minima. El que aquestes equacions ens acaben indicant és que treballarem amb dues equacions que mesuren la distancia entre diferents punts d’interferència constructiva:

$$r_2-r_1=n\lambda n=0,\pm 1,\pm 2,...$$

I destructiva:

$$r_2-r_1=(2n+1)\frac{\lambda }{2}$$

Ones estacionàries:

Es creen a través del xoc de dues ones iguals. Sol passar quan una ona xoca contra una paret i de tornada es troba amb ella mateixa. Per entendre-la cal calcular les interferències entre dues ones idèntiques superposades. Ja que és el que fan al rebotar. L’ona que rebota només pateix un canvi, sumem $\pi$ al seu angle, invertint-la. Per tant:

$$A_i=-A_r{A}_r=-A_i=-A_0$$

Nodes: Són punts de vibració nul·la i es situen a una distancia de:

$$WIP$$

Les ones sempre acabaran formant patrons que dependran de $n$, amb $n=1$ sent la ona principal, podem anar complicant cada cop més l’ona.

Expressió dels Harmonics en un tub semiobert:

$${\lambda }_{2n+1}=\frac{4L}{2n+1}=0,1,2,\mathrm{3..}$$

Energia del moviment ondulatori:

Si recordem:

$$E=E_c+E_p$$ $$E=E_{pm\grave{a}x}=\frac{1}{2}m(\omega A{)}^2=\frac{1}{2}m(2\pi fA{)}^2=2{\pi }^{2}m{f}^2{A}^2$$

Per continuar cal definir l’intensitat d’energia transmesa, que és la potència mitjana per unitat de superfície perpendicular a la direcció de propagació.

$$I=\frac{Pot\grave{e}ncia}{Superf\acute{ı}cie}=\frac{\Delta E}{S\cdot \Delta t}(W/m^2)$$

Aquí podem fer servir un truc per fer el següent:

$$I=\frac{\Delta E}{S\cdot \Delta t}\cdot \frac{\Delta r}{\Delta r}=\frac{\Delta E}{V}\cdot v$$

On $V$ és un volum. Podem continuar i fer servir l’expressió de l’energia que hem trobat abans per acabar fent la següent equació:

$$2{\pi }^2\cdot \rho \cdot v\cdot f^2\cdot A^2=E$$